À época, vim a saber que brigaram entre si

[M. T. Piacentini]

Em face do assunto abordado há duas semanas, perguntaram-me se estavam bem corretos dois dos exemplos apresentados: Preferiu sentar-se no sofá, e Sentamos à mesa principal. Sim, pode-se usar tanto a preposição “a” quanto “em” com o verbo sentar(-se). Nós brasileiros ora falamos sentar na poltrona, num banco, no sofá, na mesa, ora sentar à poltrona, a um banco, ao sofá, à mesa.

Da mesma forma, pode-se dizer bater na porta e bater à porta, lavar a roupa na mão e lavar a roupa à mão. O fato é que o uso da preposiçãoem é mais comum na fala, por ser mais audível do que à (cujo som se confunde com há e com a artigo ou preposição),  e  a crase sugere uma escrita mais elegante e erudita.

Também nas expressões de tempo pode-se fazer a substituição do em pelo a (à/ao):

Não respondi ao telegrama pois naquela/ àquela hora o correio já havia fechado. 
Naquela/ Àquela altura dos acontecimentos, ninguém se lembrou do cachorro.
O forno de microondas custava, na/ à época, uns oito salários mínimos.
Na/ À oportunidade, envio-lhe meus cumprimentos.
No/ Ao ensejo, reiteramos nossas cordiais saudações.

--- Na frase abaixo é necessário, facultativo ou incorreto colocar a preposição depois do verbo vir? “Que venham a manchar a imagem da arbitragem.” Bianca Casagrande, Porto Alegre/RS

Não é indiferente o uso da preposição nesse caso: há mudança de significado. Na combinação de vir com outro verbo, distingue-sevir+infinitivo de vir+a+infinitivo.

1) No primeiro caso, tem-se a noção de chegar ou de se locomover com alguma finalidade. A preposição para está implícita:

Vim [para] saber o que ocorreu.
A senadora veio participar da campanha eleitoral.
Espero que venhas trazer o dinheiro ainda hoje.
Os três bolivianos não vieram cursar Medicina, mas sim Enfermagem.

2) O uso da preposição a entre vir e o infinitivo tira da locução verbal a noção de finalidade e empresta-lhe o sentido de “acontecer, ocorrer, suceder”, de “chegar” mas não com o  sentido físico:

Vim a saber da tragédia pelos jornais.  [aconteceu de eu saber]
A senadora veio a participar da campanha eleitoral. [chegou a participar]
Espero que venhas a encontrar o que queres. [que acabes encontrando]
Depois de um tempo, veio a amá-lo como a um filho.

--- Qual a diferença entre “brigaram entre eles” e “brigaram entre si”? Chico Damasceno, Palmas/TO

Não há diferença semântica, mas apenas de nível de linguagem. Pela norma culta ou padrão, devem ser usados os pronomes reflexivos si econsigo – e não os pronomes retos – quando o objeto verbal e o sujeito são a mesma pessoa:

Pedro só pensa em si. 
A Fulana só gosta de falar de si mesma.
Dalma e Telma se afastaram da turma e discutiram o assunto entre si. 
O carpinteiro veio mas não trouxe consigo o material de carpintaria.

No entanto, no Brasil é muito comum, até em textos algo formais, o esquecimento dos pronomes reflexivos em favor dos pronomes retos nessas mesmas situações. Na linguagem falada, chega a ser constrangedor o uso de si e consigo. O que se ouve é: 
 

Pedro só pensa nele.
A Fulana só gosta de falar dela mesma.
Dalma e Telma se afastaram da turma e discutiram o assunto entre elas. 
O carpinteiro veio mas não trouxe com ele o material de carpintaria.